0 前言

    沉降计算是地基验算的重要组成部分。地基在建筑物荷载长期作用下，不断产生变形从而引起建筑物基础的沉降和倾斜。过大的沉降会影响到建筑物的使用和外观。如建筑物发生不均匀沉降时建筑物可能发生裂缝、扭曲或倾斜影响其使用与安全，严重的甚至发生倒塌破坏。由于沉降的复杂性，目前还不能从理论上对地基的变形进行精确计算。沉降的主要影响因素：

    1）荷载大小与其分布情况。建筑物的上部荷载越大, 作用在基础底面上的接触压力就越大,地基的竖向变形即沉降量值也就越大; 此外, 上部荷载在基础上的作用位置也影响到沉降情况。

    2）基础埋深。高层建筑的基础埋置较深，此时的回弹再压缩在总沉降占有重要地位，甚至某些高层建筑为超挖基础，此时的沉降变形将由地基回弹再压缩决定。

    3）基础与地基土的相对刚度比。按其相对刚度比的大小, 基础可分为柔性基础、刚性基础、有限刚度基础。柔性基础刚度很小, 几乎没有承受弯矩的能力, 随地基一起变形；刚性基础的基础刚度远超过土的刚度, 基础的沉降按线性分布，在上部总荷载无偏心时，基础产生均匀沉降；有限刚度基础则介于两者之间。

    4）土的性质。土的压缩性即土在压力作用下体积减小的特性。土的体积减小有三方面的原因: ①土矿物颗粒的压缩；②孔隙中水和空气的压缩；③水和空气从孔隙中被挤出。由于土的本身性状和环境因素差异较大，土的压缩性有很大的区别。

    因为筏板基础具有承载力大、刚度大整体性好的特点而被广泛应用，而随着地下空间的开发和利用，越来越多的筏板基础具有以下特点：

    1）基础埋深大。由于充分利用地下空间资源，目前高层基础通常具有3～5层地下室。

    2）占地面积大。由于高层建筑与低层裙房及地下车库整体连接，建筑占地面积通常达数万平方米。

    3）荷载及刚度差异大。由于在同一个大底盘上建造一个或多个层数不等的塔楼和低层裙房，因此造成大底盘上荷载分布极不均匀，结构刚度差异极大，同时也会引起基础偏心使基础出现轻微整体倾斜。

    4）基础整体连接。由于使用功能的要求以及加强地下结构的整体性，这类建筑一般在地面下高低层相连处不采用双墙双柱及永久性沉降缝，甚至投资方要求施工时不设沉降后浇带，基础筏板采用整体连接。

    根据沉降的主要影响因素与筏板基础的主要特征，筏板沉降具有以下特点：

    1）由于筏板基础的荷载一般差异较大，筏板基础的差异沉降较大，需要进行最大沉降差控制。

    2）由于筏板基础的埋深一般较大，其回弹再压缩变形不可忽略。

    3）由于筏板基础具有较大刚性，在一定的程度上能够调整和均衡上部结构荷载向地基传递，减小由于荷载差异和地基不均匀造成的建筑物不均匀沉降或倾斜，减小地基不均匀变形在结构物内部引起的附加应力。但是其面积往往较大，其不均匀沉降仍然很大，而不宜作为刚性基础计算。

    4）由于筏板基础的面积较大，筏板内地质条件的差异很可能较大，从而导致沉降差异变大。

    总之，由于筏板基础较为复杂，筏板基础的沉降计算是筏板设计中的一个难点，往往不可以简单的用分层总和法计算，也不宜用刚性基础进行沉降计算，需要根据实际情况与经验进行调整。

1 基底压力的计算

    地基沉降的内因是土的压缩性，外因是建筑物的荷载，因此为了计算地基的沉降，除了研究土体的压缩性以外，还要研究上部荷载作用下地基中的应力分布，这里首先需要确定的是基底压力。

    实验证明，基底压力主要与以下诸因素有关：①地基与基础的相对刚度；②荷载的大小与分布；③基础埋深；④地基土的性质等。

图1柔性与刚性基础

    对基底压力进行分析时，按照基础抗弯刚度的大小将基础分为以下三类：

    柔性基础的抗弯刚度很小，它好比放置于地上的柔性薄膜，可以随着地基的变形而任意弯曲。基础上任意一点的荷载转递到基底时不可能向旁边扩散分布，荷载就像直接作用于地基上一样，因此，柔性基础的基底接触压力分布与作用于基础上的荷载分布完全一致。

    刚性基础具有非常大的抗弯刚度，受荷后基础的挠曲很小，因此，原来是平面的基底，沉降后仍然保持为平面。如基础的荷载合力通过基底的形心，刚性基础将迫使基底各点同步、均匀的下沉。

    按弹性体半空间理论可求得基底压力的大小，其值在基底边缘处趋于无穷大。然而，事实上由于边缘处接触应力较大，很容易使基础边缘处地基土发生塑性变形直至剪切破坏，土的塑性区便不再发展，此时地基与基础之间的接触应力为凹抛物线形或马鞍形。随着外荷载的不断增大，边缘处地基土已发生塑性变形，其接触应力不再增加，这势必引起土中应力重分布，中间应力将继续增加，接触应力的分布由马鞍形变为抛物线形。 

图2刚性基础接触压力分布图

    在实际工程的基底反力测试中，常见的基底反力分布曲线为凹抛物线形或马鞍形，很难见到凸抛物线形。主要原因是测试时地基承受的实际荷载很难达到考虑各种因素的设计荷载值，同时，设计所采用的地基承载力也有一定的安全系数，因此地基难以达到临塑状态。文献还表明：基础的刚度越大，基础边缘处的基底接触压力也越大。

    有限刚度基础,对于大部分建筑基础来说，其基础刚度介于柔性基础和刚性基础之间。因此就目前来说，确定此种基础的基底反力是将土体视为均匀的弹性体，按照弹性理论中接触问题的方法来进行求解。

    对于具有一定刚度及尺寸的柱下独立基础和墙下条基等基础，其基底压力可近似的简化为线形分布进行计算，当轴心荷载作用下，基底压力均匀分布；当偏心荷载作用下为梯形或三角形分布。对于筏板基础而言，由于基础尺寸较大、荷载分布差异大、地质条件复杂等，基底压力分布复杂，如果再按照线形分布计算，则可能与实际状态差异较大，在很多情况下是不能满足工程需求的。确定基底压力的方法很多：

1）基于Winkler假定的基床系数法

在Winkler假定条件下地基表面的任意一点的沉降与该点的压应力成正比，因此基床系数可以定义为地基土在外力作用下产生单位变形所需的应力，一般可以表示为：

式中：

    其中的基床系数一般可以采用实验的方式获得，例如原位测试中采用平板荷载试验、螺旋板荷载试验等；室内土工试验；基床系数还可以通过经验公式，如基床系数与标准贯入击数的经验关系；国内外通过对基床系数的试验研究,在许多文献、手册、规范等资料中给出了基床系数的经验值；另外基床系数还可以通过经验沉降进行反推进行近似计算。

    Winkler地基上的板来说，一般按弹性板的弯曲理论进行计算，基床系数确定之后，即可根据边界条件求解挠曲微分方程或有限元计算，最终确定板底的基底压力。

    一般认为Winkler地基模型比较适合基岩埋置较浅、地基土层较薄的情况。当土的粘性越低、建筑物的尺寸越小、埋置深度越浅、建筑物传给地基的单位面积上的压力越大时，采用基床系数法会有较好的根据。

    2）弹性力学方法

    将地基土视为弹性半空间体，用弹性力学理论来求地基反力，用此方法计算出来的地基反力其基础边缘较大，地基反力向边缘集中的现象比较突出，其边缘处的计算值将大于实测值，这就造成基础的最大弯矩比按实测地基反力计算出的弯矩值要大，这在工程设计中是不经济的。

    3）实测反力系数法

    实测地基反力系数法是我国现行《高层建筑箱形与筏形基础技术规范》所规定的确定地基反力的方法，由中国建筑科学研究院地基基础研究所提出的。其基本原理是将大量工程地基反力的实测数据经过选择和处理，根据基础底面纵横向反力分布曲线以两个平面曲线方程来接近空间曲线的母线，用最小二乘法建立地基反力的曲线方程式。

    与其他地基反力计算方法相比，由于该方法是以工程实测资料为依据，并编制成表格供设计人员使用，成为目前确定地基反力最简便实用且较符合实际情况的方法。但由于数据的缺乏及各种条件的限制，目前规范提供的地基反力系数表格仍然是有限的，还有待于在以后的工程实测中加以补充。

    4）有限单元法

    随着计算机技术的发展，用于地基与基础的共同作用分析以来，有限单元法成为分析上部结构、基础、地基共同作用的有效方法之一。

    因此在PKPMV4版本中，软件采用了有限元计算的土反力作为基底压力进行沉降计算。

    有限元的土反力的计算与基床系数的选取关系较大，因此软件给出了多种的基床系数的计算方法。

    1.1 默认的基床系数的计算

    默认情况下，软件将相交的筏板与其子筏板与其上的局部加厚区、减薄区、电梯井、柱墩作为一个整体区域，按照一个构件进行沉降计算，并按其沉降反推基床系数，这时任意一个独立的整体区域的基床系数采用一个值。

    1.2 子筏板单独计算基床系数

    如果大筏板内布置子筏板，子筏板基床系数默认数随大板，如果希望计算基床系数的时候分开计算确定基床系数，即每块板单独计算，那么“参数”里勾选“子筏板基床系数单算”。确定基床系数的沉降值，程序默认将整个筏板视为刚性体，按分层总和法计算基础中心点沉降，然后再根据该沉降反推基床系数。

    1.3 按柔性法确定基床系数

    对于一些复杂工程，整个基础整体性较差，此时可以勾选“按柔性法确定基床系数”，那么程序先按柔性算法计算沉降，再反算基床系数。柔性算法计算沉降时，筏板不再视为一个刚性体，而是会划分成若干单元，然后每个单元分别计算沉降，并考虑各单元之间的相互影响。

    2 筏板沉降计算

    对于尺寸不大的独立基础来说，其基础中点的沉降可以近似的代替其他各点的沉降，然而对于筏板基础来说，其基础下各点的沉降差不能忽略且需要控制，因此，对于计算筏板基础的沉降来说，虽然所采用的弹性理论与独立基础的理论相同，但其计算模型却有所区别。

    计算筏板沉降的方法较多，例如：分层总和法；修正的分层总和法；Winkler模型法；弹性理论法；考虑应力历史的地基沉降方法；应力路径法；由变形特征进行沉降计算；非线性有限元方法；综合法等。

    从软件的角度，我们可以分为两类：一类是以有限元位移作为沉降，如Winkler模型法、弹性理论法，这类方法的特点是可以考虑筏板与上部结构的影响；另一类是将有限元反力作为基底压力再进行沉降计算，我们还可以将此过程进行迭代。

    各方法均在某些情况下得到很好的适用，然而均具有一定局限性。我们这里仅详细说明几个常用方法：

    2.1 Winkler模型

    Winkler模型在前文中已经介绍，在此不在赘述。

与其用于计算基底反力的原理相同，此地基模型不能扩散应力和变形，一般认为Winkler地基模型比较适合基岩埋置较浅、地基土层较薄的情况。当土的粘性越低、建筑物的尺寸越小、埋置深度越浅，计算结果越合理。

    2.2 弹性理论模型

    弹性理论法计算地基最终沉降量是以Boussinesq解作为依据，假定地基是均质的、各向同性的、线弹性的半无限体；利用半空间表面竖向集中力作用下任意一点的沉降计算公式，通过对荷载及坐标进行积分，从而推导出各种荷载形式下基底任意一点的沉降。需要指出的是，Boussinesq解只适用于当上部荷载作用在地基表面，而基础一般都是有一定的埋深，对于此类情况，应采用Mindlin解进行沉降计算。弹性理论法理论严谨，对于各向同性、均质的弹性半空间体计算结果精确、简便；但也正是其将土体视为弹性体，实际上地基土体是成层存在的，并且是非均质的，导致弹性理论法计算结果与实际情况很可能偏差较大，在工程上，一般采用该方法计算饱和软粘土地基的瞬时沉降。 

图3基础模型选项

    2.2.1 完全弹性模型

    对于筏板基础的变形计算使用分层总和法计算，参见《地基规范》5.3节的规定。地基总变形量采用《地基规范》公式5.3.5，相应的土层参数在地质模型中，由用户给出，平均附加应力系数按照《地基规范》附录K采用。地基变形计算深度按照《地基规范》5.3.6条～5.3.7条的规定采用。考虑相邻荷载影响时，按照《地基规范》5.3.8条的角点法计算。基坑开挖地基土回弹值按照《地基规范》公式5.3.9计算。

    2.2.2 修正的完全弹性模型

由于完全弹性模型中土按照半无限体计算，夸大了单元之间的相互影响，因此在完全弹性模型的基础上对地基沉降按下式进行修正

注：D为土单元等效直径

    2.2.3 分层地基法

    分层地基法主要是指在给定的基底压力的情况下，先将地基土分为若干水平土层，计算每层的压缩量，然后累加起来，即为总的地基沉降量，其各种方法主要是土的应力的修正及沉降的经验修正。

    2.2.3.1 《建筑地基基础设计规范》分层总和法

    计算地基变形时，地基内的应力分布，可采用各向同性均质线性变形体理论。其最终变形量可按下式进行计算：

图4沉降影响范围与调整系数

    分层总和法是当前工程中使用最广泛的方法，本法计算的物理概念清楚，计算方法也很容易，易于在工程单位推广应用，它是根据实际工程中积累的沉降实测数据，进行统计分析确定理论计算值与实测值之间的经验系数，这系数具有可靠性与实用性。但是由于当前的筏板的复杂性越来越大，在进行沉降差控制时，地基反力的分布对其结果影响较大，而且由于其计算沉降时不能直接考虑基础及上部结构的刚度的影响，因此其计算的沉降差很可能偏大。

    2.2.3.2 高层建筑筏形与箱形基础技术规范分层总和法

    当采用土的压缩模量计算筏形与箱形基础的最终沉降量时，应按下列公式计算：

    此方法与建筑地基基础设计规范的分层总和法一致，仅是默认考虑回弹再压缩的影响，不再赘述。

    2.2.3.3 高层建筑筏形与箱形基础技术规范弹性理论法

当采用土的变形模量计算筏形与箱形基础的最终沉降量时，应按下式计算：

    此方法默认考虑回弹再压缩的影响，其计算深度按照《高层建筑筏形与箱形基础技术规范》第5.4.4条确定，需要注意的是，土的弹性模型应该按照变形模量输入。

    2.3 完全刚性法

    分层总和法没有考虑基础与上部结构的刚度，且假设基础底面的反力分布为已知，因此与实际情况有出入。在很多情况下，如：高层建筑、剪力墙结构、箱形基础结构由于基础刚度较大，或基础连同上部结构总体刚度很大，基础底板的整体变形较小，或者相对总沉降量来说，底板的整体弯曲变形可以忽略，此时可以将底板假设为刚性，底板各部位的反力通过平衡方程联立求解。

图5单元沉降计算方法

    该方法的主要假定为：基础底面为刚性平面，其最终沉降量可用平面方程表示：

    并将基础底面划分为个单元。于是根据Boussinesq的应力积分式可以得所有单元的柔度矩阵，与相应的反力和最终沉降量平衡方程组。利用个底板总反力和上部总荷载的3个力的平衡方程：

附加压力对其他单元的应力影响相对于Boussinesq弹性解有所降低，于是单元划分数量就会影响到计算沉降值，所以要根据一个统一的标准，即按规范的标准进行修正，只有如此才能使用规范的经验系数。JCCAD软件是按《地基规范》的计算方法，将整个基础按已划分好的单元，采用相同的附加压力值，分别计算各单元的沉降（全部考虑相邻单元的影响），再将其取平均值，以此为标准进行第一次沉降修正。然后再根据《地基规范》中表5.3.5的沉降计算经验系数的进行第二次修正，最后得出最终沉降量。如有条件的话，第二次修正采用的沉降计算经验系数，应尽量使用本地区归纳总结的经验系数输入。

    3 上部结构的影响

    在整体性基础计算中如何考虑上部结构的影响一直是困扰设计人员的一个难题。在工程设计中，一般将上部结构的全部重量作为荷载直接作用在基础上，而实际上只有底层结构重量是直接作用在基础上，按着施工顺序各层荷载与结构刚度逐步形成，新的荷载只作用在逐层形成的上部结构上面。如果要完全模拟实际情况，按施工顺序，将基础和上部结构连成一体，分多次计算、再内力叠加将是一个很繁琐的过程，目前无法用于工程设计中，因此设计人员采用了各种不同的假设和方法来考虑上部结构的影响，其核心思想就是控制整体性基础的非倾斜性沉降差，即控制基础的整体弯曲。 

图6考虑上部刚度参数

    软件主要是提供了三种考虑上部刚度的方法：

    3.1 上部结构刚度凝聚法

    将上部结构的刚度以与基础连接的节点作出口自由度进行凝聚。

设上部结构平衡方程为:

    上部结构刚度凝聚法可以有效的考虑上部结构的刚度的影响，计算的位移更加合理，因此对后续反力及沉降计算都所有帮助。

    3.2 考虑剪力墙高度

    由于框架结构所提供的上部刚度有限，而剪力墙的刚度较大，因此，可以考虑仅考虑剪力墙刚度近似考虑上部结构刚度，由于其精度有限，主要在初步设计时采用。

    3.3 假设上部结构为刚性的倒楼盖法

    该方法是设计部门经常采用的一种方法，它假设上部结构刚度无穷大，基础只有局部弯矩不存在整体弯曲。它的特点是概念简单，甚至用查表手算也可得到计算结果。这种方法的实施是在基础刚度矩阵中加大有柱、墙节点竖向位移刚度，约束竖向位移。该方法适用于上部结构刚度较大，或者地基刚度较大，沉降差较小的基础。

    4 考虑回弹再压缩

    埋深较大的筏板基础在施工完成后基底以下土体往往处于补偿或超补偿状态，此时再压缩沉降变形在建筑物最终沉降变形中占有较大比例，此类建筑施工由于深基坑开挖所引起的地基土回弹变形以及房屋建造过程中的地基再压缩变形、固结变形，在基础整体挠度控制、主裙楼差异沉降控制以及施工进度控制中变得非常重要。建筑地基基础的变形控制不仅需控制最大变形量，而且需控制地基的总变形与回弹再压缩变形形成的变形差。

    地基规范对回弹再压缩的计算有如下规定：

    当建筑物地下室基础埋置较深时，地基土的回弹变形量可按下式进行计算：

图7回弹再压缩参数

在采用箱基规范计算沉降时，软件自动考虑回弹再压缩，采用地基规范的分层总和法时，用户可以根据实际情况判断是否勾选。

    5 迭代计算沉降 

图8迭代计算参数

    在有限元计算的位移一般可以认为是沉降，也可以将有限元计算的反力作为基底压力再利用各种方法进行沉降计算，进而根据沉降计算可以反推土刚度，因此可以进行多次迭代进行沉降计算，使得位移与沉降趋势接近。但是由于位移计算和沉降计算的方法有所不同，并不一定可以保证迭代的位移与沉降完全相同。

    例如，正方形筏板均布面荷载情况下，等分为四个正方形单元，计算模型选取Winkler模型而不采用沉降反推，此时计算的基床系数各单元相同且不变，筏板的各节点位移也相同，而沉降采用地基规范分层总和法，由于相互影响沉降则比位移大。

    6 结论

    由于近年来筏板基础设计表现为体量大，埋深大，荷载差异大，形成在同一大面积基础上建有多栋多层和高层建筑等技术特点，因此对筏板沉降及其沉降差的控制越来越重要。本文总结了当前各种计算筏板沉降的理论与方法及其在软件中的实现，以便用户根据工程实际更合理的使用软件。